---
tags: [алгебра, MOC]
---

# Алгебра — Комплексные числа: конспект

Конспект по теме «Комплексные числа»: определение, алгебраическая форма, свойства операций, сопряжение, обратное число, деление, модуль/аргумент и показательная форма.

## Структура конспекта

```mermaid
graph TD
    A["01 Обозначения<br/>множества, кванторы"] --> B["02 Определение<br/>z=(x,y) ⟺ z=x+yi, i²=-1"]
    B --> C["03 Теорема 1<br/>свойства + и ·"]
    C --> D["04 Теорема 2<br/>комплексное сопряжение"]
    D --> E["05 Теорема 3<br/>обратное число z⁻¹"]
    E --> F["06 Деление, |z|, Arg z<br/>тригонометрическая форма"]
    F --> G["07 Показательная форма<br/>e^z и его свойства"]
```

1. [[01 Обозначения]] — теоретико-множественные и логические обозначения
2. [[02 Определение комплексного числа]] — определение $\mathbb{C}$, алгебраическая форма, $i^2=-1$
3. [[03 Свойства операций (Теорема 1)]] — коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность
4. [[04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2)]] — определение и свойства $\overline z$
5. [[05 Обратное число (Теорема 3)]] — определение $z^{-1}$ и его свойства
6. [[06 Деление, модуль и аргумент]] — алгоритм деления, $|z|$, $\operatorname{Arg}z$, тригонометрическая форма
7. [[07 Показательная форма записи]] — $e^z$, формула Эйлера, свойства $e^z$

## Шпаргалка

| Формула | Комментарий |
|---|---|
| $z=(x,y)=x+yi$ | алгебраическая форма |
| $i^2=-1$ | мнимая единица |
| $(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$ | сложение |
| $(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$ | умножение |
| $\overline{x+yi}=x-yi$ | сопряжение |
| $z_2-z_1=z_2+(-1)z_1$ | вычитание |
| $z^{-1}=\dfrac{x}{x^2+y^2}-\dfrac{y}{x^2+y^2}i$, $\ z\neq0$ | обратное число |
| $\dfrac{z_2}{z_1}=\dfrac{z_2\cdot\overline{z_1}}{x_1^2+y_1^2}$ | деление |
| $\lvert z\rvert=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot\overline z}$ | модуль |
| $z=\lvert z\rvert(\cos\varphi+\sin\varphi\, i)$, $\varphi=\operatorname{Arg}z$ | тригонометрическая форма |
| $e^z=e^x(\cos y+\sin y\, i)$ | показательная форма |
| $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$, $\ (e^z)^{-1}=e^{-z}$ | свойства $e^z$ |

> [!info] $(\mathbb{C},+,\cdot)$ — поле: операции коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом (см. [[03 Свойства операций (Теорема 1)|Теорему 1]]), а каждый ненулевой элемент обратим (см. [[05 Обратное число (Теорема 3)|Теорему 3]]).