---
tags: [алгебра, комплексные-числа]
---

# Комплексные числа: определение и алгебраическая форма

← [[01 Обозначения]] | → [[03 Свойства операций (Теорема 1)]]

## Определение 1

> [!abstract] Определение 1
> **Комплексными числами** называются всевозможные упорядоченные пары $(x,y)\in\mathbb{R}^2$, для которых определены операции «$+$» и «$\cdot$»:
>
> $$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{R}^2:$$
> $$(x_1,y_1)+(x_2,y_2) = (x_1+x_2,\ y_1+y_2)$$
> $$(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2) = (x_1x_2-y_1y_2,\ \ x_1y_2+x_2y_1)$$

Множество комплексных чисел обозначается $\mathbb{C}$.

Для комплексного числа $(x,y)\in\mathbb{R}^2$: число $x$ называется **вещественной частью**, число $y$ — **мнимой частью**.

**Обозначение:** $z=(x,y)$, $\ x=\operatorname{Re}z, \ y = \operatorname{Im}z$.

## Договорённости о сокращениях

- $(x;0)=x$ — вещественное число отождествляется с парой, у которой мнимая часть равна нулю;
- $(0;1)=i$ — **мнимая единица**.

При этих договорённостях можно показать, что любое комплексное число равно сумме своей вещественной части и своей мнимой части, умноженной на $i$.

## Вывод алгебраической формы

Пусть $x,y\in\mathbb{R}$. Тогда

$$
x+y\cdot i = (x;0)+(y;0)\cdot(0;1) = (x;0)+(y\cdot0-0\cdot1;\ y\cdot1+0\cdot0) = (x;0)+(0;y) = (x+0;\,0+y) = (x;y)
$$

> [!success] Алгебраическая форма записи
> $$z=(x,y) \iff z = x+y\cdot i$$

## Визуализация: комплексная плоскость

Пара $(x,y)$ — это точка на плоскости с осью $\operatorname{Re}$ (вещественная часть по горизонтали) и осью $\operatorname{Im}$ (мнимая часть по вертикали):

![Комплексная плоскость: точка z = x + yi](assets/complex-plane.svg)

## Следствия из формулы умножения

**1)** $i^2 = (0,1)\cdot(0,1) = (0\cdot0-1\cdot1;\ 0\cdot1+0\cdot1) = (-1,0) = -1$

$$\boxed{i^2=-1}$$

**2)** Умножение на вещественное число $\lambda\in\mathbb{R}$: для $x,y\in\mathbb{R}$

$$
\lambda\cdot(x+y\cdot i) = (\lambda;0)\cdot(x;y) = (\lambda x-0\cdot y;\ \lambda y+x\cdot0) = (\lambda x;\lambda y) = \lambda x+\lambda y\, i
$$

## Обозначение разности

$$z_2-z_1 = z_2+(-1)\cdot z_1$$

---
→ Далее: [[03 Свойства операций (Теорема 1)]]