---
tags: [алгебра, комплексные-числа, теоремы]
---

# Теорема 1. Свойства операций «+» и «·» на $\mathbb{C}$

← [[02 Определение комплексного числа]] | → [[04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2)]]

> [!abstract] Теорема 1
> Для любых $z_1,z_2,z_3\in\mathbb{C}$:
>
> 1. $z_1+z_2=z_2+z_1$ — **коммутативность** «+»
> 2. $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ — **ассоциативность** «+»
> 3. $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$ — **коммутативность** «·»
> 4. $(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$ — **ассоциативность** «·»
> 5. $(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$ — **дистрибутивность** «·» относительно «+»

Во всех пунктах доказательство сводится к переходу в алгебраическую форму $z=x+yi$ и использованию соответствующих свойств операций над **вещественными** числами.

## Доказательство

> [!example]- 1) Коммутативность сложения
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ x_i,y_i\in\mathbb{R}$.
>
> $$z_1+z_2=(x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$$
> $$z_2+z_1=(x_2+y_2i)+(x_1+y_1i)=(x_2+x_1)+(y_2+y_1)i=$$
> $$=[\text{коммутативность «+» вещественных чисел}]=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i=z_1+z_2$$

> [!example]- 2) Ассоциативность сложения
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ z_3=x_3+y_3i,\ x_k,y_k\in\mathbb{R}$.
>
> $$(z_1+z_2)+z_3=((x_1+y_1i)+(x_2+y_2i))+(x_3+y_3i)=$$
> $$=((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i)+(x_3+y_3i)=((x_1+x_2)+x_3)+((y_1+y_2)+y_3)i$$
>
> $$z_1+(z_2+z_3)=(x_1+y_1i)+((x_2+y_2i)+(x_3+y_3i))=$$
> $$=(x_1+y_1i)+((x_2+x_3)+(y_2+y_3)i)=(x_1+(x_2+x_3))+(y_1+(y_2+y_3))i=$$
> $$=[\text{ассоциативность «+» вещественных чисел}]=((x_1+x_2)+x_3)+((y_1+y_2)+y_3)i=(z_1+z_2)+z_3$$

> [!example]- 3) Коммутативность умножения
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ x_i,y_i\in\mathbb{R}$.
>
> $$z_1z_2=(x_1+y_1i)(x_2+y_2i)=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i$$
> $$z_2z_1=(x_2+y_2i)(x_1+y_1i)=(x_2x_1-y_2y_1)+(x_2y_1+x_1y_2)i=$$
> $$=[\text{коммутативность «+» и «·» вещественных чисел}]=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i=z_1z_2$$

> [!example]- 4) Ассоциативность умножения
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ z_3=x_3+y_3i,\ x_k,y_k\in\mathbb{R}$.
>
> $$(z_1z_2)z_3=\big((x_1+y_1i)(x_2+y_2i)\big)(x_3+y_3i)=\big((x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i\big)(x_3+y_3i)=$$
> $$=\big((x_1x_2-y_1y_2)x_3-(x_1y_2+x_2y_1)y_3\big)+\big((x_1x_2-y_1y_2)y_3+x_3(x_1y_2+x_2y_1)\big)i=$$
> $$=(x_1x_2x_3-y_1y_2x_3-x_1y_2y_3-x_2y_1y_3)+(x_1x_2y_3-y_1y_2y_3+x_1x_3y_2+x_2x_3y_1)i$$
>
> $$z_1(z_2z_3)=(x_1+y_1i)\big((x_2+y_2i)(x_3+y_3i)\big)=(x_1+y_1i)\big((x_2x_3-y_2y_3)+(x_2y_3+x_3y_2)i\big)=$$
> $$=\big(x_1(x_2x_3-y_2y_3)-y_1(x_2y_3+x_3y_2)\big)+\big(x_1(x_2y_3+x_3y_2)+(x_2x_3-y_2y_3)y_1\big)i=$$
> $$=(x_1x_2x_3-x_1y_2y_3-y_1x_2y_3-y_1x_3y_2)+(x_1x_2y_3+x_1x_3y_2+x_2x_3y_1-y_1y_2y_3)i$$
>
> Слагаемые в вещественной и мнимой частях обоих выражений совпадают (с точностью до порядка множителей и слагаемых — это допустимо в силу коммутативности операций над вещественными числами) $\Rightarrow (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$.

> [!example]- 5) Дистрибутивность
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ z_3=x_3+y_3i,\ x_i,y_i\in\mathbb{R}$.
>
> $$z_3\cdot(z_1+z_2)=(x_3+y_3i)\big((x_1+y_1i)+(x_2+y_2i)\big)=(x_3+y_3i)\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i\big)=$$
> $$=\big(x_3(x_1+x_2)-y_3(y_1+y_2)\big)+\big(x_3(y_1+y_2)+(x_1+x_2)y_3\big)i$$
>
> $$z_3z_1+z_3z_2=(x_3+y_3i)(x_1+y_1i)+(x_3+y_3i)(x_2+y_2i)=$$
> $$=\big((x_3x_1-y_3y_1)+(x_3y_1+x_1y_3)i\big)+\big((x_3x_2-y_3y_2)+(x_3y_2+x_2y_3)i\big)=$$
> $$=(x_3x_1-y_3y_1+x_3x_2-y_3y_2)+(x_3y_1+x_1y_3+x_3y_2+x_2y_3)i=$$
> $$=\big(x_3(x_1+x_2)-y_3(y_1+y_2)\big)+\big(x_3(y_1+y_2)+y_3(x_1+x_2)\big)i=z_3\cdot(z_1+z_2)$$
>
> Теорема доказана. $\blacksquare$

---
→ Далее: [[04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2)]]