---
tags: [алгебра, комплексные-числа]
---

# Деление, модуль, аргумент и тригонометрическая форма

← [[05 Обратное число (Теорема 3)]] | → [[07 Показательная форма записи]]

## Деление комплексных чисел

> [!abstract] Определение
> Если $z_1\neq0$, то
> $$\frac{z_2}{z_1}=z_2\cdot z_1^{-1}$$

### Алгоритм деления

Идея: домножить числитель и знаменатель на $\overline{z_1}$, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе.

$$
\frac{z_2}{z_1}=z_2\cdot z_1^{-1}=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot1=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot\overline{1}=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot\overline{(z_1\cdot z_1^{-1})}=
$$
$$
=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot\overline{z_1}\cdot\overline{(z_1^{-1})}=(z_2\cdot\overline{z_1})\cdot\big(z_1^{-1}\cdot\overline{(z_1^{-1})}\big)=
$$
$$
=(z_2\cdot\overline{z_1})\cdot\big(z_1^{-1}\cdot(\overline{z_1})^{-1}\big)=(z_2\cdot\overline{z_1})\cdot(z_1\cdot\overline{z_1})^{-1}=\frac{z_2\cdot\overline{z_1}}{z_1\cdot\overline{z_1}}
$$

где на последнем переходе использованы свойства 4) и 5) [[05 Обратное число (Теорема 3)|Теоремы 3]].

Знаменатель всегда вещественный и неотрицательный:

$$z_1\cdot\overline{z_1}=(x_1+y_1i)(x_1-y_1i)=x_1^2+y_1^2$$

> [!success] Практическая формула деления
> $$\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\cdot\overline{z_1}}{x_1^2+y_1^2}$$
> — числитель и знаменатель домножаются на число, сопряжённое к знаменателю.

## Модуль комплексного числа

$$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$$

Геометрически $|z|$ — длина вектора, ведущего из начала координат в точку $z=(x,y)$. Заметим, что $z\cdot\overline z = x^2+y^2 = |z|^2$.

## Аргумент комплексного числа

Для $z\neq0$ величина $\operatorname{Arg}(z)$ — угол между положительным направлением вещественной оси и вектором $z$ — определена **с точностью до слагаемого $2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}$**.

![Модуль и аргумент комплексного числа](assets/modulus-argument.svg)

## Тригонометрическая форма записи

$$
z=x+yi=|z|\cos(\operatorname{Arg}z)+|z|\sin(\operatorname{Arg}z)\cdot i=|z|\big(\cos(\operatorname{Arg}z)+\sin(\operatorname{Arg}z)\cdot i\big)
$$

> [!success] Тригонометрическая форма
> $$z=|z|\big(\cos\varphi+\sin\varphi\cdot i\big),\quad \varphi=\operatorname{Arg}z$$

---
→ Далее: [[07 Показательная форма записи]]