---
tags: [алгебра, комплексные-числа, теоремы]
---

# Показательная форма записи. Свойства $e^z$

← [[06 Деление, модуль и аргумент]] | ↑ [[00 Индекс]]

## Определение показательной формы

> [!abstract] Определение
> Для любого $z\in\mathbb{C}$
> $$e^z=e^x(\cos y+\sin y\cdot i), \quad\text{где } x=\operatorname{Re}z,\ y=\operatorname{Im}z$$

> [!note] Замечание
> Если $y=0$, то $$e^z=e^x(\cos0+\sin0\cdot i)=e^x$$
> то есть определение согласуется со случаем вещественного показателя степени и не противоречит ему.

С учётом [[06 Деление, модуль и аргумент|тригонометрической формы]] это по сути формула Эйлера: $e^{yi}=\cos y+\sin y\cdot i$, откуда $z=|z|\,e^{i\operatorname{Arg}z}$ — показательная форма комплексного числа.

## Теорема (свойства $e^z$)

> [!abstract] Теорема
> 1. $\forall z_1,z_2\in\mathbb{C}\ \ e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
> 2. $\forall z\in\mathbb{C}\ \ \overline{(e^z)}=e^{\overline z}$

## Доказательство

> [!example]- 1) $e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
> Пусть $z_1=x_1+y_1i,\ z_2=x_2+y_2i,\ x_i,y_i\in\mathbb{R}$.
>
> $$e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{x_1+y_1i}\cdot e^{x_2+y_2i}=e^{x_1}(\cos y_1+\sin y_1i)\cdot e^{x_2}(\cos y_2+\sin y_2i)=$$
> $$=e^{x_1+x_2}\big((\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2)+(\cos y_1\sin y_2+\cos y_2\sin y_1)i\big)=$$
> $$=e^{x_1+x_2}\cdot\big(\cos(y_1+y_2)+\sin(y_1+y_2)i\big)=e^{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i}=e^{z_1+z_2}$$
>
> (использованы формулы косинуса и синуса суммы)

> [!example]- 2) $\overline{(e^z)}=e^{\overline z}$
> Пусть $z=x+yi,\ x,y\in\mathbb{R}$.
>
> $$\overline{(e^z)}=\overline{(e^{x+yi})}=\overline{\big(e^x(\cos y+\sin y\cdot i)\big)}=\overline{e^x}\cdot\overline{(\cos y+\sin y\cdot i)}=$$
> $$=e^x(\cos y-\sin y\cdot i)=e^x\big(\cos(-y)+\sin(-y)\cdot i\big)=e^{x-yi}=e^{\overline z}$$
>
> Теорема доказана. $\blacksquare$

## Следствие

> [!success] Следствие
> $$(e^z)^{-1}=e^{-z}$$

**Доказательство:** $e^z\cdot e^{-z}=e^{z+(-z)}=e^0=1 \implies (e^z)^{-1}=e^{-z}$.

---
↑ [[00 Индекс]]