05 Обратное число (Теорема 3)

← 04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2) | → 06 Деление, модуль и аргумент

Определение 3

Определение 3

Число $z_{2} \in C$ называется обратным к числу $z_{1} \in C$ , если
$z_{1} \cdot z_{2} = 1$

Обозначение: $z_{2} = z_{1}^{- 1}$

Теорема 3 (свойства $z^{- 1}$ )

Теорема 3

$\forall z \in C$ существует не более одного $z^{- 1}$

$\forall z \in C \exists z^{- 1} ⟺ z \neq = 0$

$\forall z \neq = 0 (z^{- 1})^{- 1} = z$

$\forall z \neq = 0 (\overline{z})^{- 1} = \overline{(z^{- 1})}$

$\forall z_{1} \neq = 0, z_{2} \neq = 0 (z_{1} \cdot z_{2})^{- 1} = z_{1}^{- 1} \cdot z_{2}^{- 1}$

Доказательство

1) Единственность обратного

Пусть $(z^{- 1})_{1}$ и $(z^{- 1})_{2}$ — числа, обратные к $z$ .

$z \cdot (z^{- 1})_{1} = 1$
$(z^{- 1})_{2} \cdot (z \cdot (z^{- 1})_{1}) = (z^{- 1})_{2} \cdot 1$
$((z^{- 1})_{2} \cdot z) \cdot (z^{- 1})_{1} = (z^{- 1})_{2}$
$1 \cdot (z^{- 1})_{1} = (z^{- 1})_{2} ⟹ (z^{- 1})_{1} = (z^{- 1})_{2}$

2) Существование обратного $⟺ z \neq = 0$

( $\Rightarrow$ ) Пусть $\exists z^{- 1}$ . Тогда $z \cdot z^{- 1} = 1 \Rightarrow z \neq = 0$ (иначе $0 \cdot z^{- 1} = 0 \neq = 1$ ).

( $\Leftarrow$ ) Пусть $z \neq = 0$ , $z = x + y i, x, y \in R$ .

$z \neq = 0 ⟺ x \neq = 0 или y \neq = 0 ⟺ x^{2} + y^{2} > 0$

Докажем, что число $\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} i$ обратно к $z$ :

$(x + y i) \cdot (\frac{x}{x ^{2} + y ^{2}} - \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}} i) = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} (x + y i) (x - y i) =$
$= \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} - y^{2} i^{2}) = \frac{1}{x ^{2} + y ^{2}} (x^{2} + y^{2}) = 1$

3) $(z^{- 1})^{- 1} = z$

Пусть $z \neq = 0 \Rightarrow \exists z^{- 1}$ .
$z \cdot z^{- 1} = 1 ⟹ z — обратное к z^{- 1} ⟹ (z^{- 1})^{- 1} = z$

4) $(\overline{z})^{- 1} = \overline{(z^{- 1})}$

Пусть $z \neq = 0 \Rightarrow \exists z^{- 1}$ .
$\overline{z} \cdot \overline{z^{- 1}} = \overline{z \cdot z^{- 1}} = \overline{1} = 1 ⟹ \overline{z^{- 1}} — обратное к \overline{z} ⟹ (\overline{z})^{- 1} = \overline{z^{- 1}}$

5) $(z_{1} z_{2})^{- 1} = z_{1}^{- 1} z_{2}^{- 1}$

Пусть $z_{1} \neq = 0$ и $z_{2} \neq = 0 \Rightarrow \exists z_{1}^{- 1}$ и $\exists z_{2}^{- 1}$ .
$(z_{1} z_{2}) \cdot (z_{1}^{- 1} z_{2}^{- 1}) = (z_{1} z_{1}^{- 1}) \cdot (z_{2} z_{2}^{- 1}) = 1 \cdot 1 = 1$
$⟹ z_{1}^{- 1} z_{2}^{- 1} — обратное к z_{1} z_{2} ⟹ (z_{1} z_{2})^{- 1} = z_{1}^{- 1} z_{2}^{- 1}$

Теорема доказана. $■$

→ Далее: 06 Деление, модуль и аргумент

Обратное число к комплексному числу

Определение 3

Теорема 3 (свойства $z^{- 1}$ )

Доказательство

Обратные ссылки

Поиск

Определение 3

Теорема 3 (свойства z−1)

Доказательство

Обратные ссылки

Теорема 3 (свойства $z^{- 1}$ )