← 03 Свойства операций (Теорема 1) | → 05 Обратное число (Теорема 3)

Определение 2

Определение 2

Число $z_2\in \mathbb{C}$ называется комплексно сопряжённым к $z_1\in \mathbb{C}$, если
$\mathrm{Re}{z}_2=\mathrm{Re}{z}_1\text{и}\mathrm{Im}{z}_2=-\mathrm{Im}{z}_1$

Обозначение: $z_2=\overline{z_1}=z_1^{\ast }$

Иначе говоря: если $z=x+yi$, то $\overline{z}=x-yi$ — знак мнимой части меняется на противоположный.

Визуализация: сопряжение как отражение

Комплексно сопряжённое число $\overline{z}$ — это отражение точки $z$ относительно вещественной оси:

Теорема 2 (свойства сопряжения)

Теорема 2

Для любых $z,z_1,z_2\in \mathbb{C}$:

1. $\overline{\overline{z}}=z$
2. $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$
3. $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$

Доказательство

1) $\overline{\overline{z}}=z$

Пусть $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$.
$\overline{\overline{z}}=\overline{\overline{x+yi}}=\overline{x-yi}=x+yi=z$

2) $\overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm \overline{z_2}$

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$\overline{z_1\pm z_2}=\overline{(x_1+y_{1}i)\pm (x_2+y_{2}i)}=\overline{(x_1\pm x_2)+(y_1\pm y_2)i}=(x_1\pm x_2)-(y_1\pm y_2)i$

$\overline{z_1}\pm \overline{z_2}=\overline{x_1+y_{1}i}\pm \overline{x_2+y_{2}i}=(x_1-y_{1}i)\pm (x_2-y_{2}i)=$
$=(x_1\pm x_2)+(-y_1\mp y_2)i=(x_1\pm x_2)-(y_1\pm y_2)i=\overline{z_1\pm z_2}$

3) $\overline{z_1\cdot z_2}=\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}$

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$z_1{z}_2=(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$
$\overline{z_1{z}_2}=\overline{(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i}=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)-(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$

$\overline{z_1}\cdot \overline{z_2}=\overline{x_1+y_{1}i}\cdot \overline{x_2+y_{2}i}=(x_1-y_{1}i)(x_2-y_{2}i)=$
$=(x_1{x}_2-(-y_1)(-y_2))+(x_1(-y_2)+x_2(-y_1))i=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)-(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i=\overline{z_1{z}_2}$

Теорема доказана. $■$

---

→ Далее: 05 Обратное число (Теорема 3)