← 06 Деление, модуль и аргумент | ↑ 00 Индекс

Определение показательной формы

Определение

Для любого $z\in \mathbb{C}$
$e^z=e^x(\cos y+\sin y\cdot i),\text{где }x=\mathrm{Re}z,y=\mathrm{Im}z$

Замечание

Если $y=0$, то $e^z=e^x(\cos 0+\sin 0\cdot i)=e^x$
то есть определение согласуется со случаем вещественного показателя степени и не противоречит ему.

С учётом тригонометрической формы это по сути формула Эйлера: $e^{yi}=\cos y+\sin y\cdot i$, откуда $z=|z|e^{i\mathrm{Arg}z}$ — показательная форма комплексного числа.

Теорема (свойства $e^z$)

Теорема

1. $\forall z_1,z_2\in \mathbb{C}{e}^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$
2. $\forall z\in \mathbb{C}\overline{(e^z)}=e^{\overline{z}}$

Доказательство

1) $e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$e^{z_1}\cdot e^{z_2}=e^{x_1+y_{1}i}\cdot e^{x_2+y_{2}i}=e^{x_1}(\cos y_1+\sin y_{1}i)\cdot e^{x_2}(\cos y_2+\sin y_{2}i)=$
$=e^{x_1+x_2}((\cos y_1\cos y_2-\sin y_1\sin y_2)+(\cos y_1\sin y_2+\cos y_2\sin y_1)i)=$
$=e^{x_1+x_2}\cdot (\cos (y_1+y_2)+\sin (y_1+y_2)i)=e^{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i}=e^{z_1+z_2}$

(использованы формулы косинуса и синуса суммы)

2) $\overline{(e^z)}=e^{\overline{z}}$

Пусть $z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}$.

$\overline{(e^z)}=\overline{(e^{x+yi})}=\overline{(e^x(\cos y+\sin y\cdot i))}=\overline{e^x}\cdot \overline{(\cos y+\sin y\cdot i)}=$
$=e^x(\cos y-\sin y\cdot i)=e^x(\cos (-y)+\sin (-y)\cdot i)=e^{x-yi}=e^{\overline{z}}$

Теорема доказана. $■$

Следствие

Следствие

$(e^z{)}^{-1}=e^{-z}$

Доказательство: $e^z\cdot e^{-z}=e^{z+(-z)}=e^0=1⟹(e^z{)}^{-1}=e^{-z}$.

---

↑ 00 Индекс