Конспект по теме «Комплексные числа»: определение, алгебраическая форма, свойства операций, сопряжение, обратное число, деление, модуль/аргумент и показательная форма.

Структура конспекта

graph TD
    A["01 Обозначения<br/>множества, кванторы"] --> B["02 Определение<br/>z=(x,y) ⟺ z=x+yi, i²=-1"]
    B --> C["03 Теорема 1<br/>свойства + и ·"]
    C --> D["04 Теорема 2<br/>комплексное сопряжение"]
    D --> E["05 Теорема 3<br/>обратное число z⁻¹"]
    E --> F["06 Деление, |z|, Arg z<br/>тригонометрическая форма"]
    F --> G["07 Показательная форма<br/>e^z и его свойства"]

1. 01 Обозначения — теоретико-множественные и логические обозначения
2. 02 Определение комплексного числа — определение $\mathbb{C}$, алгебраическая форма, $i^2=-1$
3. 03 Свойства операций (Теорема 1) — коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность
4. 04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2) — определение и свойства $\overline{z}$
5. 05 Обратное число (Теорема 3) — определение $z^{-1}$ и его свойства
6. 06 Деление, модуль и аргумент — алгоритм деления, $|z|$, $\mathrm{Arg}z$, тригонометрическая форма
7. 07 Показательная форма записи — $e^z$, формула Эйлера, свойства $e^z$

Шпаргалка

Формула	Комментарий
$z=(x,y)=x+yi$	алгебраическая форма
$i^2=-1$	мнимая единица
$(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$	сложение
$(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$	умножение
$\overline{x+yi}=x-yi$	сопряжение
$z_2-z_1=z_2+(-1)z_1$	вычитание
$z^{-1}=\frac{x}{x^2+y^2}-\frac{y}{x^2+y^2}i$, $z\ne 0$	обратное число
$\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\cdot \overline{z_1}}{x_1^2+y_1^2}$	деление
$|z|=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\cdot \overline{z}}$	модуль
$z=|z|(\cos \phi +\sin \phi i)$, $\phi =\mathrm{Arg}z$	тригонометрическая форма
$e^z=e^x(\cos y+\sin yi)$	показательная форма
$e^{z_1}{e}^{z_2}=e^{z_1+z_2}$, $(e^z{)}^{-1}=e^{-z}$	свойства $e^z$

$(\mathbb{C},+,\cdot )$ — поле: операции коммутативны, ассоциативны и связаны дистрибутивным законом (см. Теорему 1), а каждый ненулевой элемент обратим (см. Теорему 3).