← 01 Обозначения | → 03 Свойства операций (Теорема 1)

Определение 1

Определение 1

Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, для которых определены операции «$+$» и «$\cdot$»:

$\forall (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in {\mathbb{R}}^2:$
$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$
$(x_1,y_1)\cdot (x_2,y_2)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2,x_1{y}_2+x_2{y}_1)$

Множество комплексных чисел обозначается $\mathbb{C}$.

Для комплексного числа $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$: число $x$ называется вещественной частью, число $y$ — мнимой частью.

Обозначение: $z=(x,y)$, $x=\mathrm{Re}z,y=\mathrm{Im}z$.

Договорённости о сокращениях

• $(x;0)=x$ — вещественное число отождествляется с парой, у которой мнимая часть равна нулю;
• $(0;1)=i$ — мнимая единица.

При этих договорённостях можно показать, что любое комплексное число равно сумме своей вещественной части и своей мнимой части, умноженной на $i$.

Вывод алгебраической формы

Пусть $x,y\in \mathbb{R}$. Тогда

$$x+y\cdot i=(x;0)+(y;0)\cdot (0;1)=(x;0)+(y\cdot 0-0\cdot 1;y\cdot 1+0\cdot 0)=(x;0)+(0;y)=(x+0;0+y)=(x;y)$$

Алгебраическая форма записи

$z=(x,y)⟺z=x+y\cdot i$

Визуализация: комплексная плоскость

Пара $(x,y)$ — это точка на плоскости с осью $\mathrm{Re}$ (вещественная часть по горизонтали) и осью $\mathrm{Im}$ (мнимая часть по вертикали):

Следствия из формулы умножения

1) $i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1;0\cdot 1+0\cdot 1)=(-1,0)=-1$

$\boxed{i^2=-1}$

2) Умножение на вещественное число $\lambda \in \mathbb{R}$: для $x,y\in \mathbb{R}$

$$\lambda \cdot (x+y\cdot i)=(\lambda ;0)\cdot (x;y)=(\lambda x-0\cdot y;\lambda y+x\cdot 0)=(\lambda x;\lambda y)=\lambda x+\lambda yi$$

Обозначение разности

$z_2-z_1=z_2+(-1)\cdot z_1$

---

→ Далее: 03 Свойства операций (Теорема 1)