← 02 Определение комплексного числа | → 04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2)

Теорема 1

Для любых $z_1,z_2,z_3\in \mathbb{C}$:

1. $z_1+z_2=z_2+z_1$ — коммутативность «+»
2. $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ — ассоциативность «+»
3. $z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1$ — коммутативность «·»
4. $(z_1{z}_2)z_3=z_1(z_2{z}_3)$ — ассоциативность «·»
5. $(z_1+z_2)z_3=z_1{z}_3+z_2{z}_3$ — дистрибутивность «·» относительно «+»

Во всех пунктах доказательство сводится к переходу в алгебраическую форму $z=x+yi$ и использованию соответствующих свойств операций над вещественными числами.

Доказательство

1) Коммутативность сложения

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$z_1+z_2=(x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i)=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i$
$z_2+z_1=(x_2+y_{2}i)+(x_1+y_{1}i)=(x_2+x_1)+(y_2+y_1)i=$
$=[\text{коммутативность «+» вещественных чисел}]=(x_1+x_2)+(y_1+y_2)i=z_1+z_2$

2) Ассоциативность сложения

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,z_3=x_3+y_{3}i,x_k,y_k\in \mathbb{R}$.

$(z_1+z_2)+z_3=((x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i))+(x_3+y_{3}i)=$
$=((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i)+(x_3+y_{3}i)=((x_1+x_2)+x_3)+((y_1+y_2)+y_3)i$

$z_1+(z_2+z_3)=(x_1+y_{1}i)+((x_2+y_{2}i)+(x_3+y_{3}i))=$
$=(x_1+y_{1}i)+((x_2+x_3)+(y_2+y_3)i)=(x_1+(x_2+x_3))+(y_1+(y_2+y_3))i=$
$=[\text{ассоциативность «+» вещественных чисел}]=((x_1+x_2)+x_3)+((y_1+y_2)+y_3)i=(z_1+z_2)+z_3$

3) Коммутативность умножения

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$z_1{z}_2=(x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i)=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i$
$z_2{z}_1=(x_2+y_{2}i)(x_1+y_{1}i)=(x_2{x}_1-y_2{y}_1)+(x_2{y}_1+x_1{y}_2)i=$
$=[\text{коммутативность «+» и «⋅» вещественных чисел}]=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i=z_1{z}_2$

4) Ассоциативность умножения

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,z_3=x_3+y_{3}i,x_k,y_k\in \mathbb{R}$.

$(z_1{z}_2)z_3=((x_1+y_{1}i)(x_2+y_{2}i))(x_3+y_{3}i)=((x_1{x}_2-y_1{y}_2)+(x_1{y}_2+x_2{y}_1)i)(x_3+y_{3}i)=$
$=((x_1{x}_2-y_1{y}_2)x_3-(x_1{y}_2+x_2{y}_1)y_3)+((x_1{x}_2-y_1{y}_2)y_3+x_3(x_1{y}_2+x_2{y}_1))i=$
$=(x_1{x}_2{x}_3-y_1{y}_2{x}_3-x_1{y}_2{y}_3-x_2{y}_1{y}_3)+(x_1{x}_2{y}_3-y_1{y}_2{y}_3+x_1{x}_3{y}_2+x_2{x}_3{y}_1)i$

$z_1(z_2{z}_3)=(x_1+y_{1}i)((x_2+y_{2}i)(x_3+y_{3}i))=(x_1+y_{1}i)((x_2{x}_3-y_2{y}_3)+(x_2{y}_3+x_3{y}_2)i)=$
$=(x_1(x_2{x}_3-y_2{y}_3)-y_1(x_2{y}_3+x_3{y}_2))+(x_1(x_2{y}_3+x_3{y}_2)+(x_2{x}_3-y_2{y}_3)y_1)i=$
$=(x_1{x}_2{x}_3-x_1{y}_2{y}_3-y_1{x}_2{y}_3-y_1{x}_3{y}_2)+(x_1{x}_2{y}_3+x_1{x}_3{y}_2+x_2{x}_3{y}_1-y_1{y}_2{y}_3)i$

Слагаемые в вещественной и мнимой частях обоих выражений совпадают (с точностью до порядка множителей и слагаемых — это допустимо в силу коммутативности операций над вещественными числами) $\Rightarrow (z_1{z}_2)z_3=z_1(z_2{z}_3)$.

5) Дистрибутивность

Пусть $z_1=x_1+y_{1}i,z_2=x_2+y_{2}i,z_3=x_3+y_{3}i,x_i,y_i\in \mathbb{R}$.

$z_3\cdot (z_1+z_2)=(x_3+y_{3}i)((x_1+y_{1}i)+(x_2+y_{2}i))=(x_3+y_{3}i)((x_1+x_2)+(y_1+y_2)i)=$
$=(x_3(x_1+x_2)-y_3(y_1+y_2))+(x_3(y_1+y_2)+(x_1+x_2)y_3)i$

$z_3{z}_1+z_3{z}_2=(x_3+y_{3}i)(x_1+y_{1}i)+(x_3+y_{3}i)(x_2+y_{2}i)=$
$=((x_3{x}_1-y_3{y}_1)+(x_3{y}_1+x_1{y}_3)i)+((x_3{x}_2-y_3{y}_2)+(x_3{y}_2+x_2{y}_3)i)=$
$=(x_3{x}_1-y_3{y}_1+x_3{x}_2-y_3{y}_2)+(x_3{y}_1+x_1{y}_3+x_3{y}_2+x_2{y}_3)i=$
$=(x_3(x_1+x_2)-y_3(y_1+y_2))+(x_3(y_1+y_2)+y_3(x_1+x_2))i=z_3\cdot (z_1+z_2)$

Теорема доказана. $■$

---

→ Далее: 04 Комплексно сопряжённые числа (Теорема 2)