← 05 Обратное число (Теорема 3) | → 07 Показательная форма записи

Деление комплексных чисел

Определение

Если $z_1\ne 0$, то
$\frac{z_2}{z_1}=z_2\cdot z_1^{-1}$

Алгоритм деления

Идея: домножить числитель и знаменатель на $\overline{z_1}$, чтобы избавиться от мнимой части в знаменателе.

$$\frac{z_2}{z_1}=z_2\cdot z_1^{-1}=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot 1=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot \overline{1}=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot \overline{(z_1\cdot z_1^{-1})}=$$ $$=z_2\cdot z_1^{-1}\cdot \overline{z_1}\cdot \overline{(z_1^{-1})}=(z_2\cdot \overline{z_1})\cdot (z_1^{-1}\cdot \overline{(z_1^{-1})})=$$ $$=(z_2\cdot \overline{z_1})\cdot (z_1^{-1}\cdot (\overline{z_1}{)}^{-1})=(z_2\cdot \overline{z_1})\cdot (z_1\cdot \overline{z_1}{)}^{-1}=\frac{z_2\cdot \overline{z_1}}{z_1\cdot \overline{z_1}}$$

где на последнем переходе использованы свойства 4) и 5) Теоремы 3.

Знаменатель всегда вещественный и неотрицательный:

$z_1\cdot \overline{z_1}=(x_1+y_{1}i)(x_1-y_{1}i)=x_1^2+y_1^2$

Практическая формула деления

$\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\cdot \overline{z_1}}{x_1^2+y_1^2}$
— числитель и знаменатель домножаются на число, сопряжённое к знаменателю.

Модуль комплексного числа

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$

Геометрически $|z|$ — длина вектора, ведущего из начала координат в точку $z=(x,y)$. Заметим, что $z\cdot \overline{z}=x^2+y^2=|z{|}^2$.

Аргумент комплексного числа

Для $z\ne 0$ величина $\mathrm{Arg}(z)$ — угол между положительным направлением вещественной оси и вектором $z$ — определена с точностью до слагаемого $2\pi k,k\in \mathbb{Z}$.

Тригонометрическая форма записи

$$z=x+yi=|z|\cos (\mathrm{Arg}z)+|z|\sin (\mathrm{Arg}z)\cdot i=|z|(\cos (\mathrm{Arg}z)+\sin (\mathrm{Arg}z)\cdot i)$$

Тригонометрическая форма

$z=|z|(\cos \phi +\sin \phi \cdot i),\phi =\mathrm{Arg}z$

---

→ Далее: 07 Показательная форма записи